Портал засновано за підтримки Донецького обласного благодійного Фонду сприяння освітнім інтелектуальним інвестиціям (свідоцтво про Держреєстрацію № 402, видане 04.11.2008 р. Головним управлінням юстиції у Донецькій області, свідоцтво про Держреєстрацію серія А00 № 729147, видане 11.11.2008 р. Слов'янським міськвиконкомом). Портал зареєстровано Держкомітетом з інформатизації України 16.10.2009 р. (лист № 1737/05-09) як електронний інформаційний ресурс.
УКР
РУС
 
Н. І. ТРУШ. ПРО ДІАЛЕКТИКУ ВЗАЄМОВІДНОШЕННЯ ДИДАКТИЧНИХ ПРИНЦИПІВ НАУКОВОСТІ ТА ДОСТУПНОСТІ В ПРОЦЕСІ НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ
 
  Версия для печати

ВХІД             Реєстрація

ПЕДАГОГІЧНІ ВИДАННЯ / е-журнал «Педагогічна наука: історія, теорія, практика, тенденції розвитку» / Архів номерів / Випуск №2 [2008] / Н. І. Труш. Про діалектику взаємовідношення дидактичних принципів науковості та доступності в процесі навчання математики

УДК 37.02+372.851

Н. І. Труш

ПРО ДІАЛЕКТИКУ ВЗАЄМОВІДНОШЕННЯ ДИДАКТИЧНИХ ПРИНЦИПІВ
НАУКОВОСТІ ТА ДОСТУПНОСТІ В ПРОЦЕСІ НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ

Анотація. У статті розглядаються питання, пов’язані з діалектикою відношення дидактичних принципів науковості та доступності в процесі навчання математики.

Останнім часом спостерігається значний спад рівня освіченості випускників загальноосвітніх навчальних закладів, зокрема, рівня математичної підготовки. Створені навчальні заклади нового типу, в тому числі й ліцеї мали за мету і дійсно змінили ситуацію на краще, створивши умови не тільки для оволодіння учнями системою знань, а й для креативного їх розвитку. Однак виявились і проблеми, ретельний аналіз яких дозволяє намітити можливі шляхи їх вирішення. До таких проблем можна віднести і проблему необхідності зміни пріоритетів процесу навчання математики з суто інформаційних на розвивальні. Особливо це є актуальним для учнів, що не обрали математику як профіль навчання (у класах математичного спрямування традиційно рівень мотивації до вивчення математики і рівень математичної підготовки є доволі високим). Щоб навчати таких учнів не тільки математики, а й математикою, щоб наблизитись до створення «математики не для всіх, а для кожного» необхідно критично переглянути дидактичну систему – навчальний предмет «математика», що неможливо без переосмислення проблеми реалізації системи дидактичних принципів.

Дидактичні принципи, як відомо, це вихідні положення теорії навчання. Вони визначаються, перш за все, тими закономірностями навчання, які ґрунтуються на суттєвих, стійких, повторюваних зв’язках між типовими фактами, явищами і подіями навчального процесу. В свою чергу саме принципи дидактики мають прийматися як визначальні при проектуванні систем навчання та технологій, що їх реалізують.

У традиційній дидактиці загальновизнаними вважаються наступні класичні принципи: наочності, доступності, свідомості й активності, систематичності і послідовності, міцності, науковості, зв’язку теорії з практикою. Загальнодидактичне трактування смислу цих принципів практично не відрізняється у різних авторів педагогічних посібників. 

Але проекція цих принципів в ту чи іншу освітню галузь вимагає їх предметної реалізації та певних адаптаційних заходів. Це зумовлено тим, що реалізація дидактичних принципів в умовах реального навчально-виховного процесу залежить від значної кількості факторів, а саме: навчального предмету, змісту навчального матеріалу, методів і прийомів навчання, засобів та форм організації навчального процесу тощо. 

Подібна проблема є достатньо частковою для загальної дидактики і занадто загальною для часткових дидактик (методик), і тому вона фактично залишається без уваги і дидактів, і методистів. Такий стан речей призводить до суттєвих недоліків у предметній реалізації дидактичних принципів в межах прийнятої системи навчання.

Метою даної статті є аналіз особливостей реалізації дидактичних принципів науковості та доступності в процесі навчання шкільної математики. Вибір для аналізу саме цієї пари принципів не випадковий. Будучи до певної міри антагоністичними, ці принципи мають бути врахованими вже на перших етапах побудови дидактичної системи навчального предмету, оскільки вони є провідними при формуванні цілей та змісту навчання математики у школі.

«Принцип науковості означає опору на науку як джерело системи фактів, понять і закономірностей, досліджуваних у школі з відповідних предметів, і проявляється насамперед у відборі навчального матеріалу й застосовуваних методах навчання» [4, с. 235].

«Його сутність – всі факти, знання, положення і закони, що вивчаються, повинні бути науково правильні, так само як і спосіб обґрунтування положень і законів та формування понять у процесі навчання. Реалізація цього принципу передбачає вивчення системи важливих наукових положень і використання у навчанні методів, близьких до тих, якими послуговується певна наука. Він вимагає розкриття причинно-наслідкових зв’язків явищ і подій; демонстрації могутності досягнень людських знань і науки та ознайомлення з методами науки, пізнання; розкриття історії розвитку науки, боротьби тенденцій; орієнтації на міждисциплінарні наукові зв’язки» [8, с. 114].

«Принцип науковості полягає у тому, що навчальний матеріал, який складає зміст шкільного навчання, повинен (до певної міри) відповідати рівню сучасної науки, подаватись учням в певній (дидактичній) системі, що відображає наукову систему, в певній послідовності, що зберігає зв’язки понять, тем, розділів всередині кожного предмету, а також міжпредметні зв’язки» [7, с. 64].
Безумовно, механічне перенесення системи науки у шкільне навчання взагалі неможливе. Наукова система піддається спеціальній дидактичній обробці, в результаті якої утворюється певна дидактична система – навчальний предмет. Побудова будь-якої подібної системи вимагає чіткої відповіді на три основні питання «Навіщо треба навчати? Чому навчати? Як навчати?».

Відповідаючи на ці питання, необхідно з’ясувати й те, до якої міри потрібна реалізація принципу науковості. Але це виявляється неможливим без реалізації принципу доступності, суть якого полягає в тому, що зміст, форми і методи навчання мають відповідати віковим особливостям учнів, їх розумовим можливостям та іншим чинникам, що впливають на перебіг навчального процесу та його результати. 

На перший погляд принцип науковості суперечить вимогам доступності, але якщо розібратися докладніше, то виявляється, що доступність виступає свого роду «мірою науковості» в тих методичних системах, що розробляються для навчання математики в школі. 

Так, зокрема, підвищення рівня науковості без врахування вимог доступності при реформуванні в 60-х роках змісту навчання математики призвело до суттєвого ускладнення навчального матеріалу, перевищивши в ряді випадків припустиму (стимулюючу й розвиваючу) міру труднощів. І лише згодом, в результаті серії авторських доопрацювань змісту підручників з математики, змін і уточнень методики викладання окремих питань курсу математики вдалося досягти відчутних позитивних результатів. 

Звичайно, в різних системах навчання принципи науковості та доступності можуть реалізовуватися по-різному, але за будь-яких умов регулювання їх взаємовпливу відбувається через певні частково-дидактичні механізми і спирається на результати навчальної діяльності.

Розглядаючи взаємовплив принципів науковості та доступності в межах системи навчання математики загальноосвітньої школи, можна виділити основні методичні характеристики шкільного курсу математики, що мають визначальне значення для практичної реалізації цих принципів: 

  • відображення системи науки математики із збереженням в загальних рисах притаманної їй логіки і системи знань;
  • неприпустимість перекручування окремих наукових положень, вживання ненаукових термінів, відсутність помилок у викладках;
  • понятійно-змістовна наступність між тим, що розглядається на різних етапах навчання;
  • розкриття внутрішніх структурно-логічних зв’язків між науковими поняттями, закономірностями;
  • відповідність наукового трактування явищ, що вивчаються, реальним навчально-пізнавальним можливостям учнів;
  • співвіднесення рівня строгості викладу матеріалу з цілями навчання та з віковими і психологічними особливостями учнів;
  • використання спеціальних засобів, що дозволяють спростити процес усвідомлення чи обґрунтування складних понять та фактів;
  • залучення учнів до посильної навчально-дослідної роботи.

Названі характеристики, виступаючи у ролі методичних орієнтирів, слугують свого роду й «індикаторами» наявності в шкільному курсі математики проблем, пов’язаних з реалізацією принципів науковості та доступності. 

Так, зокрема, основним мотивом реформи математичної освіти 60-70 років, було те, що діюча методична система шкільної математики перестала відповідати науковій системі сучасної математики. Але приведення її у відповідність з науковою системою математики стикнулось з рядом серйозних концептуальних і методичних труднощів. До них слід додати професійну неготовність основної маси вчителів (що працювали в той період у школі) до розуміння і сприйняття нової концепції побудови шкільної геометрії, алгебри і початків аналізу, початкового курсу математики. 

Це, однак, зовсім не означає, що проблема є нерозв’язною. Вона потребує глибокого аналізу і подальшої методичної розробки, на що потрібен певний час, бажання авторів підручників та методистів доопрацьовувати зміст програмного матеріалу та методи його викладення, донести до свідомості вчителів ті провідні ідеї і методичні концепції, які покладені в основу шкільного курсу математики.
Окрема увага в цій роботі повинна приділятися усуненню різного роду фактичних і методичних помилок, які, на жаль, в сучасних підручниках зустрічаються занадто часто. 

Так, у підручнику з алгебри шестикласникам пропонується запам’ятати, що «Числовий множник буквеного виразу називають коефіцієнтом» [6, с. 227]. Але автори чомусь не беруть до уваги те, що буквений вираз може мати й вигляд 3a+2b і в цьому випадку стає незрозумілим, який з числових множників слід вважати його коефіцієнтом.

У тому ж підручнику далі стверджується: «Якщо обидві частини рівняння помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля, то нове рівняння залишиться правильним» [6, с. 232]. Правда, яке рівняння слід вважати «правильним», для учня залишається таємницею, бо серед математичних понять такого знайти не вдасться. 

В іншому підручнику [3, с. 42] автори пояснюють, що «Записи, складені з чисел і букв, сполучених знаками відношень, називають виразами». З цього пояснення зразу ж випливає, що 4a=8 слід вважати виразом, але 3a+2b виразом не буде. Навряд чи хтось з математиків з цим погодиться …

З видання у видання в підручнику алгебри і початків аналізу для 10 класу ми зустрічаємо «Функція x=1/2y–3/2=?(y) називається оберненою до функції y=2x+3=f(x)» [9, с. 99]. Це математичне речення має логічну структуру означення Dfd=Dfn, хоча за смислом воно не може вважатися означенням.

На наступній сторінці можна знайти таку пару означень:

  • «Функція f, яка має обернену, називається оборотною» [9, с. 100].
  • «Оберненою до даної оборотної функції y=f(x) називається така функція x=?(y), яка кожному y з множини значень функції y=f(x) ставить у відповідність єдине число x з її області визначення» [9, с. 100].

Ці «означення» утворюють порочне коло, бо перше з них «визначає» оборотну функцію, як таку, що має обернену, а друге – обернену функцію до оборотної. Більше того, друге з цих означень не відповідає прийнятому у математиці трактуванню оберненої функції. Звичайно, сподіватися, що учні усвідомлять смисл того, про що йдеться в цих означеннях, мабуть, не варто: в кращому випадку ці два означення будуть формально завчені напам’ять.

Ті ж автори в темі «Вступ до статистики», розглядаючи «Середні значення», чомусь відносять до них середнє квадратичне відхилення ? і в кінці параграфу роблять висновок, що «Розглянуті моду, медіану і середні значення називають мірами центральної тенденції» [10, с. 286]. Але загальновідомо, що середнє квадратичне відхилення не є тим показником, що характеризує центральну тенденцію статистичної вибірки, бо воно якраз дає уявлення про «величину» степені відхилення від неї. 

На жаль, перелік помилок у шкільних підручниках з математики наведеними вище прикладами не вичерпується, що дає підставу говорити не тільки про нагальну необхідність уточнення концептуальних засад викладення матеріалу окремих тем, а й доопрацювання змісту підручників з математики та методичних матеріалів до них.
Реалізація принципу науковості у навчанні математики досить часто пов’язується з високим рівнем строгості обґрунтувань при побудові змісту навчального предмету. Однак обмеженість учбового часу у поєднанні з необхідністю врахування принципу доступності примушує авторів шкільних підручників свідомо йти на зниження (порушення) логічної строгості викладок задля повноцінного і своєчасного досягнення цілей навчання. Ці та деякі інші чинники впливають на авторське бачення методичної концепції курсу математики і зумовлюють певну структурну організацію навчального матеріалу того чи іншого шкільного підручника.

Звичайно, «рівень строгості» викладення математичного матеріалу, що закладається авторами у підручники, є лише орієнтиром, а не останньою віхою на шляху до досягнення цілей навчання. У практиці навчання він реалізується безпосередньо через призму суб’єктивного розуміння і бачення вчителя, математична і методична обізнаність якого мають аж ніяк не останнє значення.
Тому цілком зрозуміло, що серед частково-дидактичних питань, які виникають у роботі вчителя математики, – особливо, коли мова йде про «сучасні» розділи математики, наприклад, елементи теорії ймовірностей та математичної статистики, – не на останньому місці стоїть питання вибору «рівня строгості» обґрунтування математичних тверджень під час викладення матеріалу учням.
Як свідчить практика, у процесі навчання математики можуть обиратися різні рівні строгості обґрунтування математичних тверджень:

  • прийняття математичного факту «на віру» (повідомлення учням, наприклад, про те, що розглядуване твердження доведене в математиці, однак його доведення є занадто складним для шкільної математики);
  • наочно-інтуїтивний рівень (заміна доведення твердження, наприклад, геометричними ілюстраціями);
  • правдоподібні міркування (заміна строгого доведення твердження, наприклад, його «обґрунтуванням», виходячи з фізичних уявлень);
  • формально строге доведення тверджень.

«Рівень строгості» в обґрунтуванні математичних тверджень і викладенні учбового матеріалу, який пропонується авторами підручників і суб’єктивно коригується вчителем, взагалі кажучи, є тим методичним інструментом, що може ефективно впливати на формування в учнів уявлень про математичні об’єкти, закономірності, операції, процедури і, в певній мірі, реалізовувати світоглядні функції математики, формувати у них математичну культуру.

Ця теза з достатньою повнотою ілюструється різними точками зору на методику ознайомлення з дослідженням функції з допомогою похідної. Авторами підручників і навчальних посібників використовуються відмінні методичні підходи до обґрунтування основних теорем, на яких базується низка ключових понять.

Так, у підручнику [1], – який продовжують використовувати у окремих загальноосвітніх школах ще й зараз, – без доведення, але з опорою на графічну ілюстрацію, вводиться формула Лагранжа і потім, вже на її основі, «строго» доводиться достатня умова зростання (спадання) функції на проміжку. 

Автори підручника [10], рекомендованого МОН України для використання у старшій школі, ймовірно з метою підвищення рівня строгості, вводять поняття зростання функції у точці, використання якого дозволяє дійсно строго довести теорему про вплив знака похідної на характер монотонності функції. 

На перший погляд здається, що з точки зору реалізації принципу науковості спостерігається прогрес. Однак, більш прискіпливий аналіз і досвід роботи з учнями масової школи свідчать, що «мета не виправдовує засобів». Поняття «зростання функції у точці» виявляється для значної частини учнів занадто складним для засвоєння, таким, що мало узгоджується з уже відомим поняттям «зростання функції на проміжку». Останнє ж має яскраву і зрозумілу учням геометричну інтерпретацію, чого не можна сказати про поняття зростання функції у точці. Більше того, воно вводиться виключно з теоретичних потреб і у подальшій роботі, крім доведення згаданої теореми, ніде не використовується. 

Можливий також й інший варіант методичного представлення цього матеріалу, при якому строгі доведення замінюються правдоподібними міркуваннями, що ґрунтуються на фізичному (М. І. Башмаков, 1992) або геометричному (О. Г. Мордкович, 2005) смислі похідної. Якщо при цьому виклад фактологічно не суперечить математиці як науці, є доступним для учнів і задовольняє вчителя, то такий підхід може вважатися цілком виправданим за умови, що правдоподібні міркування не видаються вчителем за строгі доведення (що, на жаль, у реальній практиці зустрічається дуже рідко). Як правило, вчителі на цей момент не звертають належної уваги і вважають, що правдоподібні міркування і є тими засобами обґрунтування, що забезпечують належний рівень строгості обґрунтувань. Але така підміна сутностей суперечить принципу науковості і призводить до суттєвих втрат у формуванні математичного світогляду і математичної культури учнів.
Загалом же вибір рівня строгості викладу математичного матеріалу доцільно співвідносити з наступними положеннями:

  • якщо деяке твердження, що використовується в курсі математики, не може бути доведено наявними засобами в межах прийнятої методичної системи, то воно приймається без доведення (на що звертається окрема увага), або його строге обґрунтування замінюється ілюстраціями чи правдоподібними міркуваннями;
  • якщо деяке твердження в принципі може бути доведено в шкільному курсі математики, але його доведення штучне чи технічно складне і не має суттєвого розвивального значення, то воно може не розглядатися з усіма учнями;
  • якщо в шкільному курсі математики для доведення деякого твердження є необхідні засоби і це твердження має розвивальне значення, то воно повинне обов’язково опрацьовуватися всіма учнями.

Обговорюючи питання строгості шкільної математики, не можна не звернути увагу на місце і роль у процесі навчання аксіоматичного методу – важливого і активно застосовуваного у сучасній математиці. Зокрема, важко погодитись з тим місцем, яке відводиться йому в сучасній шкільній геометрії.

В науці аксіоматизація ніколи не була початковим етапом пізнання. Вона є свого роду «анатомічним» дослідженням вже існуючої, готової структури понять і фактів, наведенням специфічного «порядку» в цій структурі, виявленням основних положень, що не підлягають обґрунтуванню в межах теорії (породженням якої є розглядувана структура), але достатніх для формально-логічного виведення усіх положень цієї теорії.

Аксіоматизація – це такий етап розвитку математичної теорії, який вимагає надзвичайно високого рівня абстракції. Ф. Клей свого часу наголошував: «Ми повинні пристосовуватися до природних нахилів юнаків, повільно вести їх до вищих питань і тільки на заключному етапі ознайомити їх з абстрактними ідеями … науково навчати значить навчати людину науково думати, а не приголомшувати її з самого початку холодною науково вбраною систематикою» [5, с. 381].

Безумовно шкільний курс математики і геометрії, зокрема, не можна уявити без досить строгих доведень. Однак вони повинні переконувати учнів у правильності сформульованих тверджень, а не сприйматися більшістю учнів якимось нав’язаним «ритуалом», «ритуалом» абсолютно не вмотивованим для середньостатистичного семикласника, якого ми примушуємо доводити очевидні для нього факти зовсім не очевидними засобами.

Ознайомлення учнів вже на перших уроках геометрії з системою аксіом шкільної планіметрії і першими доведеннями теорем викликає у значної частини учнів стійку відразу до геометрії, уявлення про неї як про непомірно складний предмет, який зрозуміти і засвоїти просто неможливо. Частина ж учнів мовчки підкоряється запропонованим «правилам доведень», не розуміючи, навіщо вони, і, переживши перший, доволі неприємний етап «набуття геометричного досвіду», надовго забуває про аксіоми. 

Складним цей етап є і для вчителів, оскільки учні 12-ти років не вбачають достатніх підстав для аксіоматичної побудови теорії, як це можуть зробити студенти, що вивчають певні розділи математики в університеті. Знаючи це, частина вчителів намагається якось змінити ситуацію «на краще», щоб полегшити сприйняття учнями геометричного матеріалу. 

Але аналіз практики викладання геометрії дає підстави стверджувати, що спроби вчителів «покращувати» ситуацію в більшості випадків спричиняють порушення принципу науковості. Так, окремі вчителі, працюючи за підручником О. В. Погорєлова, для «спрощення» доведення ознак рівності трикутників (доведення третьої з яких є занадто складним для семикласників) вдаються до певного роду еклектики, використовуючи для доведення позаконцептуальну ідею про рівність трикутників, співпадаючих при накладанні. Не розуміючи, що подібні міркування не можна брати за основу доведення в межах геометричної концепції О. В. Погорєлова, вчителі щиро вважають, що вони роблять краще за автора підручника. 

Досліджуючи питання про оптимальний рівень строгості викладення математичного матеріалу, можна дійти висновку, що для шкільного навчання необхідне ретельне методичне впорядкування, а не систематична побудова фрагменту теорії, спроба якої спостерігається у підручниках [9, 10]. 

За термінологією видатного російського математика В. І. Арнольда таку побудову слід віднести до жорсткого математичного моделювання [2]. Його використання при побудові дидактичної системи призводить до того, що теоретичні побудови у підручниках занадто складні для опрацювання учнями. Найбільш яскраво це проявляється при опрацюванні матеріалу окремих, найбільш важливих і складних розділів курсу алгебри і початків аналізу. 

Так, на роботу з поняттями границі і неперервності функції програмою з математики загальноосвітніх шкіл відведено 4 години навчального часу. У підручнику [10] матеріал даної теми займає 43 сторінки тексту, що містить теоретичні викладки, приклади тощо. І хоча текст добре структурований, має практично бездоганну логічну строгість, однак він включає низку позапрограмних понять та фактів і не містить жодних вказівок чи виділень, які б відокремлювали обов’язковий матеріал від того, що таким не є. Це, по суті, унеможливлює самостійну роботу учнів над матеріалом теми. 

В. І. Арнольд, висловлюючись з приводу подібних тенденцій, що спостерігаються у навчанні математики, підкреслює: «У «математиків-обчислювачів» гіпертрофована ліва півкуля [мозку], звичайно за рахунок недорозвиненої правої … . Домінування математиків цього типу і призвело до того засилля аксіоматико-схоластичної математики, особливо у викладанні (в тому числі й у середній школі), на яке суспільство природно і законно реагує негативно» [2] . 

Поділяючи цю точку зору, відзначимо, що викладати математику в межах жорстко побудованої методичної системи досить легко – змістовно-логічна структура матеріалу домінує і при цьому на задній план відходять і цілеполагання, і мотивація, і пропедевтика, і, нарешті, психолого-педагогічні закономірності навчання. Але подібна модель не може мати широкого застосування і повинна обмежуватись рамками поглибленого вивчення математики в спеціалізованих класах загальноосвітніх навчальних закладів, гімназій, ліцеїв.

Для класів, що не мають математичної спеціалізації, повинні розроблятися методичні системи на основі ідей «м’якого» моделювання, що аж ніяк не повинні пов’язуватися ні з примітивізмом, ні з вульгаризацією трактувань математичних понять і фактів, ні з відмовою від строгих обґрунтувань. Працювати в межах таких моделей важко, бо це вимагає від вчителя: 

  • фундаментальних знань, необхідних для розуміння структури сучасної математики;
  • знань про походження та історію розвитку основних математичних понять;
  • володіння фундаментальними ідеями і методами сучасної математики;
  • розуміння сутності математичних досліджень та особливостей застосування математичних методів до розв’язання практичних задач;
  • вмінь аналізу і критичного осмислення змісту шкільних підручників в межах тієї чи іншої методичної концепції;
  • глибоких знань психологічних особливостей та інтелектуальних можливостей учнів різних вікових груп;
  • розвиненої математичної і методичної культури;
  • досвіду креативної діяльності.

Література

  1. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк.. / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов и др.; Под ред А. Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 1990. – 320 с.
  2. Арнольд В. И. Математика и математическое образование в современном мире // Арнольд В. И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели. – М., 2000. – 32 с. – URL= http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1156628&uri= arnold27.html
  3. Возняк Г. М., Литвиненко Г. М., Маланюк М. П. Математика: Проб підруч. для 5 кл. серед. шк. – К.: Освіта, 1996. – 224 с.
  4. Ильина Т. А. Педагогика: Курс лекций. Учеб. Пособие для студентов пед. ин-тов. – М.: Просвещение, 1984. – 496 с.
  5. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: В 2-х т. – Т. 1. Арифметика. Алгебра. Анализ. – Пер. с нем. / Под ред. В. Г. Болтянского. – М.: Наука, 1987. – 432 с.
  6. Литвиненко Г. М., Возняк Г. М. Математика: Проб підруч. для 6 кл. серед. шк. – К.: Освіта, 1996. – 287 с.
  7. Столяр А. А. Педагогика математики: Учебное пособие для студ. физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – Изд. 3-е, перераб. и доп. – Мн.: Высшая школа, 1986. – 414 с.
  8. Фіцула М. М. Педагогіка: Навчальний посібник для студентів вищих педагогічних закладів освіти. – К.: Видавничий центр “Академія”, 2000. – 544 с.
  9. Шкіль М. І., Слєпкань З. І., Дубінчук О. С. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів. – К.: Зодіак-ЕКО, 2002. – 272 с.
  10. Шкіль М. І., Слєпкань З. І., Дубінчук О. С. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загальноосвіт. навч. закладів. – К.: Зодіак-ЕКО, 2002. – 384 с.
© Н. І. Труш, 2008.
Рейтинг DVK WebDev разработка сайта: «DVK WebDev»